Kakaoen, der køler af: Newtons afkølingslov
En kop varm kakao køler hurtigt af i starten og langsommere og langsommere, jo tættere den kommer på stuetemperatur. Eleverne logger temperaturen, mens kakaoen køler af, og undersøger, om kurven følger Newtons afkølingslov. De finder afkølingskonstanten ved at tilpasse en eksponentiel funktion, og de, der vil videre, gør det samme i Python og simulerer afkølingen trin for trin.
Følger afkølingen af en kop kakao Newtons afkølingslov, og hvor stor er afkølingskonstanten k?
Det skal I bruge
| Vare | Varenr. | Antal og formål |
|---|---|---|
| Temperatursensor, trådløs (PASCO PS-3201) | PS-3201 | 2 pr. gruppe (en i koppen og en til lokalets temperatur) |
| Bægerglas 250 ml (8 stk.) | 100022 | 1 pr. gruppe, hvis I ikke bruger en kop |
| Elkedel 1,7 liter | 005020 | 1 til klassen |
| SPARKvue 5 (gratis download) | 900902 | Gratis app til tablet eller computer |
Andet udstyr: varm kakao eller varmt vand, ca. 2 dl pr. gruppe; et krus eller en kop (to ens, hvis I vil sammenligne, fx med og uden låg); tablet eller computer med SPARKvue eller Capstone; computer med Python og numpy (valgfrit, til databehandling).
Sikkerhed
Kakao og vand fra elkedlen er varmt nok til at give skoldning. Hæld ved bordet, og bær ikke kopper med varm væske rundt. Stil elkedlen, så ledningen ikke hænger ud over bordkanten. Drik ikke af kopper, der har været brugt i forsøget.
Sådan gør I
- Diskutér først, hvordan I tror, temperaturkurven ser ud, og hvilken temperatur kakaoen ender med.
- Tænd begge temperatursensorer, og forbind dem i SPARKvue. Sæt målefrekvensen til én måling hvert 10. sekund, og lav en graf over temperaturen.
- Læg den ene sensor på bordet ved siden af koppen, så den måler lokalets temperatur.
- Hæld ca. 2 dl varm kakao i koppen, sæt den anden sensor i, og start målingen. Rør ikke i koppen undervejs.
- Lad målingen køre i mindst 30 minutter. Brug ventetiden til at forklare, hvorfor kurven bliver fladere.
- Tilpas en naturlig eksponentiel funktion til data i SPARKvue, eller lav en ny kolonne med T minus lokalets temperatur, og tilpas den til en eksponentiel funktion. Aflæs afkølingskonstanten k.
- Python (valgfrit): Gem data som CSV. Træk lokalets temperatur fra, tag den naturlige logaritme, og lav lineær regression med np.polyfit. Hældningen er -k. Simulér derefter afkølingen med ΔT = -k·T·Δt, og sammenlign med målingerne.
Med PASCO-sensor
To trådløse temperatursensorer (PS-3201) giver både kakaoens temperatur og lokalets temperatur i samme datasæt. I SPARKvue kan eleverne trække lokalets temperatur fra i en beregnet kolonne og lave kurvetilpasning direkte. Data kan eksporteres som CSV og læses ind i Python, hvor eleverne selv laver regressionen og en simpel numerisk simulering.
Hvad sker der?
Newtons afkølingslov siger, at et legeme afgiver varme med en hastighed, der er proportional med forskellen mellem dets temperatur og omgivelsernes: dT/dt = -k·(T – T_rum). Konstanten k afhænger af koppens form og materiale, væskemængden og luften omkring.
Løsningen er en eksponentiel funktion: T(t) = T_rum + (T₀ – T_rum)·e^(-k·t). Forskellen til stuetemperaturen halveres med samme tidsinterval hele vejen ned, ligesom ved radioaktivt henfald. Tager man logaritmen af T – T_rum, får man en ret linje med hældningen -k.
I virkeligheden er afkølingen lidt hurtigere i starten end loven forudsiger, fordi fordampning og stråling betyder mest, når kakaoen er varmest. Det kan ses som en lille afvigelse fra den rette linje i logaritmeplottet.
Spørgsmål til eftertanke
- Passede kurven med jeres forudsigelse?
- Hvor stor var afkølingskonstanten k, og hvilken enhed har den?
- Hvor lang tid tog det, før temperaturforskellen til lokalet var halveret? Var det den samme tid hver gang?
- Hvorfor afviger målingerne lidt fra modellen i starten?
- Hvordan ville k ændre sig med låg på koppen eller med en termokop?
Til læreren
Med en almindelig kop og 2 dl væske er k typisk omkring 0,0005-0,001 pr. sekund, og halveringstiden for temperaturforskellen er ca. 15-25 minutter. Brug en lang måling, gerne et helt modul, for at få en god tilpasning.
I 9. klasse kan forsøget bruges til at tale om, hvorfor kurven flader ud, og til at finde halveringstiden direkte på grafen. I gymnasiet kan eleverne linearisere data, lave regression og sammenligne med den eksponentielle model, og fysik A-elever kan simulere differentialligningen i Python.
Sammenlign gerne grupper med forskellige kopper eller med og uden låg. Forsøget hænger godt sammen med Hvornår skal fløden i kaffen?
Vejledningen er udarbejdet af LabDidakt. Læreren skal altid selv vurdere sikkerheden ved forsøget i sin klasse og følge skolens retningslinjer og sikkerhedsdatabladene for de kemikalier, der bruges.
