Luftmodstand med muffinforme og Python
En muffinform falder ikke med konstant acceleration. Efter et kort stykke har luftmodstanden vokset sig lige så stor som tyngdekraften, og formen falder med konstant fart. Eleverne måler faldet med en bevægelsessensor, bestemmer sluthastigheden for en til ti forme stablet i hinanden og finder sammenhængen mellem luftmodstand og fart. Til sidst simulerer de faldet i Python og finder det luftmodstandstal, der passer bedst til data.
Hvordan afhænger luftmodstanden på en muffinform af farten, og hvor stort er luftmodstandstallet k?
Det skal I bruge
| Vare | Varenr. | Antal og formål |
|---|---|---|
| Bevægelsessensor, trådløs | PS-3219 | 1 pr. gruppe |
| Lommevægt 200 g/0,01 g | 150100 | 1 til klassen, til at veje formene |
| Målebånd 3 m | 192630 | 1 pr. gruppe |
| Beskyttelsesbriller, komfort | 910020 | Til den, der står på en stige eller et bord |
Andet udstyr: muffinforme af papir (mindst 10 ens pr. gruppe) eller kaffefiltre; computer med SPARKvue og Python (fx med numpy og matplotlib); en stabil skammel eller trappestige.
Sikkerhed
Forsøget bruger ingen farlige stoffer. Den, der slipper formene, skal stå på en stabil skammel eller stige uden hjul, og en anden elev skal holde den. Stå aldrig på stole med hjul eller på borde, der kan vippe.
Sådan gør I
- Vej 10 muffinforme samlet, og beregn massen af én form.
- Læg bevægelsessensoren på gulvet med sensoren opad. Start SPARKvue, vælg position mod tid, og sæt målefrekvensen til 40 Hz.
- Hold én muffinform med åbningen opad ca. 1,5 m over sensoren. Start målingen, og slip formen, så den falder lige ned mod sensoren.
- Find det stykke af position-tid-grafen, der er en ret linje. Hældningen er sluthastigheden.
- Gentag med 2, 3, 4 … 10 forme stablet i hinanden. Lav mindst to fald pr. antal.
- Afbild sluthastigheden i anden potens mod massen. Er sammenhængen lineær, gælder L = k·v², og k kan findes ud fra hældningen.
- Eksportér et af faldene som CSV-fil. Skriv et Python-program, der simulerer faldet trin for trin med Newtons 2. lov, og justér k, til simuleringen passer med målingerne.
Med PASCO-sensor
Den trådløse bevægelsessensor (PS-3219) måler formens position 40 gange i sekundet. I SPARKvue kan eleverne markere den rette del af grafen og få hældningen direkte. Data kan eksporteres som CSV-fil, så simuleringen i Python kan sammenlignes med de målte punkter i samme graf.
Hvad sker der?
Når formen slippes, er farten nul, og den eneste kraft er tyngdekraften G = m·g. Når farten stiger, vokser luftmodstanden. For en let genstand med stor flade er luftmodstanden tilnærmelsesvis L = k·v².
Kraftsummen er F = m·g − k·v², og accelerationen er a = g − k·v²/m. Når luftmodstanden er lige så stor som tyngdekraften, er accelerationen nul, og formen falder med sluthastigheden v = √(m·g/k).
Når formene stables, stiger massen, men formen og fladen er næsten den samme. Derfor er k næsten konstant, og v² vokser proportionalt med massen.
I simuleringen beregnes accelerationen ud fra den aktuelle fart. Farten og positionen opdateres i små tidsskridt: v = v + a·Δt og s = s + v·Δt. Det er Eulers metode, og den kan bruges til bevægelser, der ikke kan løses med de sædvanlige formler.
Spørgsmål til eftertanke
- Hvor lang tid og hvor stor en strækning gik der, før formen nåede sluthastigheden?
- Blev grafen af v² mod m en ret linje, og hvad fortæller det om luftmodstanden?
- Hvilken værdi fik I for k fra grafen og fra simuleringen?
- Hvad sker der i simuleringen, hvis tidsskridtet Δt gøres meget stort?
- Hvorfor falder en faldskærmsudspringer langsommere, når skærmen er foldet ud?
Til læreren
En muffinform vejer typisk 0,3-0,5 g og når en sluthastighed på ca. 1-1,5 m/s efter ca. en halv meter. Ti forme i hinanden falder ca. tre gange så hurtigt. Med en faldhøjde på 1,5-2 m er der god plads til den rette del af grafen.
Sensoren skal se formen hele vejen. Slip formene lige over sensoren og ikke tættere på end ca. 15 cm. Sæt evt. sensoren til at ignorere data fra det sidste stykke, når formen lander.
Python-delen kan bygges op i trin: først en løkke, der beregner bevægelsen, derefter en graf, hvor simuleringen og data vises sammen, og til sidst en løkke, der prøver mange værdier af k og finder den, der giver den mindste kvadratsum.
Vejledningen er udarbejdet af LabDidakt. Læreren skal altid selv vurdere sikkerheden ved forsøget i sin klasse og følge skolens retningslinjer og sikkerhedsdatabladene for de kemikalier, der bruges.
